2023南大直博/夏令营

2023南大直博/夏令营 数分/高代/实分析/抽象代数

2023 南大数学夏令营/直博笔试

数学分析

1. ( 10 分) 设 $a_{1}>2$, 且当 $n \geq 1$ 时 $a_{n+1}=\dfrac{a_{n}^{2}}{2\left(a_{n}-1\right)}$. 问：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛吗? 请说明理由.

2. (10 分) 证明: $\sum\limits_{k=1}^{n} \sin \sqrt{k}=O(\sqrt{n}) \quad(n \rightarrow \infty)$.

3. (15 分) 设 $f \in C^{2}(\mathbb{R})$, 且 $f \geq 0, f^{\prime \prime} \leq 1$. 证明 $\left(f^{\prime}\right)^{2} \leq 2 f$.

4. ( 15 分) 设 $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ 处处可微, 且

   $$\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\| \leq\|x-y\|, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}^{n}$$

   证明

   $$|f(y)-f(x)-\nabla f(x) \cdot(y-x)| \leq \frac{1}{2}\|x-y\|^{2}, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}^{n}$$

高等代数

一. 计算题（总共 30 分)

1. 求三维空间中由四点 $A=(1,1,1), B=(8,4,2), C=(27,9,3), \quad D=$ $(64,16,4)$ 组成的三棱雉体积. (10 分)

2. 已知 $n \times n$ 实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$, 求 $2 n \times 2 n$ 矩阵 $B=$ $\left(\begin{array}{ll}A & I_{n} \\ I_{n} & A\end{array}\right)$ 的特征值, 这里的 $I_{n}$ 表示 $n \times n$ 单位矩阵. (10 分)

3. 设实数域上的矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 9 \\ 0 & 6 & 0\\ 9 & 0 & 3\end{array}\right)$, 求正交矩阵 $T$, 使得 $T^{-1} A T$ 为对角矩阵, 并写出这个对角矩阵. (10 分)

二. 证明题（总共 20 分)

1. 假设 $A, B$ 是两个 $6 \times 6$ 的幕零矩阵, 具有相同的秩和相同的最小多项式. 求 证 $A, B$ 相似. (10 分)

2. 设 $A, B$ 是两个 $n \times n$ 的复方阵, 令 $C=A B-B A$. 如果 $A C=C A$, 证明: 存 在正整数 $m$ 使得 $C^{m}=0$. (10 分)

实分析

一. (15分) 设 $f(x), f_{n}(x), x \in[0,1], n=1,2,3, \cdots$ 是定义在闭区间 $[0,1]$ 上的一列勒贝格可积函数; 试分别给 出 $f_{n}$ 几乎处处收敛、依测度收敛及在勒贝格可积函数空间 $L([0,1])$ 中收敛于 $f$ 的定义并讨论这三种收敛之 间关系.

二. (10分)试构造闭区间 $[0,1]$ 上的黎曼可积函数列 $f_{n}, n=1,2,3, \cdots$ 使得 $f_{n}$ 是 $L([0,1])$ 意义下的Cauchy列, 即对任给 $\epsilon>0$, 存在 $N \in \mathbb{N}$ 使得对任意的 $m, n>N$ 有

$$\int_{0}^{1}\left|f_{m}(x)-f_{n}(x)\right| \mathrm{d} x<\epsilon ;$$

但不存在黎曼可积函数 $f$ 使得

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0 .$$

三. (10分)设 $f$ 为闭区间 $[0,1]$ 上的有界变差函数; 求证： $f$ 是绝对连续函数当且仅当对任意满足 $g(0)=$ $0, g(1)=0$ 的连续可微函数 $g$, 下述分部积分公式成立:

$$\int_{0}^{1} f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x=-\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) g(x) \mathrm{d} x .$$

四. (15分) 称 $L^{2}([0,1])$ 中的函数列 $f_{n}, n=1,2,3, \cdots$ 弱收敛于 $f \in L^{2}([0,1])$, 若对任意的 $g \in L^{2}([0,1])$ 有

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x .$$

求证:

1. $\lim\limits _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x=0$ 当且仅当 $f_{n}$ 弱收敛于 $f$ 和 $\int_{0}^{1}\left|f_{n}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x$ 收敛于 $\int_{0}^{1}|f(x)|^{2} \mathrm{~d} x$ 同时成 立;

2. $f_{n}$ 弱收敛于 $f$ 当且仅当对任意的 $t \in[0,1], \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{t} f(x) \mathrm{d} x$.

代数

一. (14 分) 设 $P$ 是有限群 $G$ 的一个西罗 $p$-子群。

1. 证明: $N_{G}\left(N_{G}(P)\right)=N_{G}(P)$, 其中 $N_{G}(\bullet)$ 表示止规化子。（7 分)

2. 设 $H$ 是 $G$ 的一个子群且 $H \supseteq N_{G}(P)$, 沚明： $N_{G}(H)=H$ 。(7 分)

二. (6 分) 沚明 $\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ 是无理数。

三. (15 分) 令 $F$ 是一个域, $R=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & -b \\ b & a\end{array}\right) \mid a, b \in F\right\}$ 。

1. 证明：在矩阵加法和乘法下, $R$ 是一个含么交换环。(5 分)

2. 当 $F=\mathbb{Q}, \mathbb{C}, \mathbb{F}_{5}, \mathbb{F}_{7}$, 哪些情形时 $R$ 是一个域? 请说明原因。（10 分）

四. (15 分) 令 $K$ 是一个域, $F \subset K$ 是一个子域且包含集合 $\left\{a^{2} \mid a \in K\right\}$ 。

1. 证明：当 $K$ 的特征庐为 2 时, $F=K$ 。(5 分)

2. 证明：若 $K$ 的特征为 2 且. $K$ 是有限域, 仍有 $F=K$ 。（5 分)

3. 若 $K$ 的特征为 2 但 $K$ 不是有限域, 是否仍有 $F=K$ ? 请说明原因。(5 分)

概率论基础

1. 设$X,Y$为独立同分布的随机变量，且$X$服从参数为$1$的指数分布，求$\frac{X}{X+Y}$的密度函数

2. 设$\xi$为取自然数的随机变量，$\varphi$为其特征函数，证明

   $$P(\xi =k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{ikt}\varphi(t)\mathrm{d}t$$

3. 假定随机变量$X$服从参数为1的泊松分布，现在对其独立观察$n$次，设$Y_n$为$X$大于1的次数，求$Y_n^2$的期望

4. 设$X_1,X_2,\cdots,X_n$为独立同分布的随机变量，且$X_1$的密度函数为$p(x)$,证明：

   (1) $P(\max \{X_1,\cdots,X_n\}=X_1)=\frac{1}{n}$.

   (2) 随机变量$\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$与$I_{X_1=\max \{X_1,\cdots,X_n\} }$相互独立.