期末样题及其解答

微分几何复习习题

期末样题

(1) 给定曲线 $r(t)=(a \cos t, a \sin t, b t)$ 。请计算 $r^{\prime}(t),\left|r^{\prime}(t)\right|$, 并将曲线 写为以弧长为参数的形式。

(2) 请计算曲线 $r(t)=\left(\sqrt{1+s^{2}}, \ln \left(s+\sqrt{1+s^{2}}\right)\right)$ 的曲率。

(3) 请计算曲线 $r(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \sin t, e^{t}\right)$ 的Frenet标架

(4) 请证明曲线 $r(t)$ 的挠率为

$$\tau=\frac{\left(r^{\prime}, r^{\prime \prime}, r^{\prime \prime \prime}\right)}{\left|r^{\prime} \times r^{\prime \prime}\right|^{2}} .$$

(5) 请证明单位球面上的曲线的曲率 $\kappa$ 与挠率 $\tau$ 满足

$$\frac{\tau}{\kappa}+\left(\frac{1}{\tau}\left(\frac{1}{\kappa}\right)^{\prime}\right)^{\prime}=0 .$$

(6) 计算环面 $r(u, v)=((a+b \cos u) \cos v,(a+b \cos u) \sin v, b \sin u)$ 的 第一型与第二型。

(7) 计算悬链面 $r(u, v)=(\cosh u \cos v, \cosh u \sin v, u)$ 的第一型与第二 型。

(8) 设 $S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\right\}$ 为单叶双曲面。

(a) 请证明 $r(u, v)=(\cosh u \cos v, \cosh u \sin v, \sinh u)$ 为 $S$ 的参数 方程。

(b) 请证明 $S$ 为直纹面。

(9) 如果曲面 $r(u, v)$ 的任意 $u$-曲线和 $v$-曲线围成的四边形都有相等的 对边, 我们称该曲面构成切比雪夫网, 请证明该条件成立有且 仅当 $\frac{\partial E}{\partial v}=\frac{\partial G}{\partial u}=0$ 。

(10) 请计算环面 $r(u, v)=((a+b \cos u) \cos v,(a+b \cos u) \sin v, b \sin u)$ 的 形算子系数矩阵、Gauss曲率和平均曲率。

(11) 请计算悬链面 $r(u, v)=(\cosh u \cos v, \cosh u \sin v, u)$ 的形算子系数 矩阵、Gauss曲率和平均曲率。

(12) 请计算Enneper曲面 $r(u, v)=\left(u-\frac{u^{3}}{3}+u v^{2}, v-\frac{v^{3}}{3}+u^{2} v, u^{2}-v^{2}\right)$ 的 形算子系数矩阵、Gauss曲率和平均曲率。

(13) 请证明直纹面的Gauss曲率 $K \leq 0$

(14) 找到 $E=G=1, F=0, L=-1, M=0, N=0$ 的曲面。

(15)错题.

(16) 请证明曲面上曲线的测地曲率为曲线在切空间投影的曲率。

(17) 设 $\alpha(s)$ 为曲面 $S$ 上的曲线, 如果建立沿曲线 $\alpha(s)$ 的Darboux标架$e_1=\dot{\alpha}(s), e_{3}=n, e_{2}=e_{3} \times e_{1}$ 那么请证明 $\omega_{12}=k_{g} \omega_{1}$ 。

(18) 设 $\alpha(s)$ 为曲面 $S$ 上的曲线, 请找㚎沿曲线 $\alpha(s)$ 的Darboux标架与 曲线Frenet标架之间的关系。

解答

1. 直接计算可以得到： $$r(t)=(-a\sin t,a\cos t,b),|r'(t)|=\sqrt{a^2+b^2},s=\sqrt{a^2+b^2}t$$ 因此： $$r(s)=(a\cos \frac{s}{c},a\sin \frac{s}{c},\frac{b}{c}s),c=\sqrt{a^2+b^2}$$ 进一步我们可以计算该曲线的曲率和挠率： $$\kappa(s)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\tau(s)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

2.直接可以计算出$s$为弧长参数,因此可以直接计算曲率.注意到：

$$\frac{\mathrm{d }r}{\mathrm{d} s}=\left(\frac{s}{\sqrt{1+s^2}},\frac{1}{\sqrt{1+s^2}}\right)=t(s),n(s)=\left(-\frac{1}{\sqrt{1+s^2}},\frac{s}{\sqrt{1+s^2}}\right)$$

继续计算：

$$\frac{\mathrm{d }^2 r}{\mathrm{d } s^2}=\left(\frac{1}{(1+s^2)^{3/2}},-\frac{1}{(1+s^2)^{3/2}}\right)$$

因此：

$$\kappa_r(s)=-\frac{1}{1+s^2}$$

3.只需要计算$T(t),N(t),B(t)$即可.直接计算可以得到：$\left|\frac{\mathrm{d }r}{\mathrm{d } s}\right|=\sqrt{3}e^t$.计算计算可以得到：

$$T(t)= \frac{\mathrm{d }r}{\mathrm{d } s}=\left( \frac{\cos t-\sin t}{\sqrt{3}},\frac{\sin t+\cos t}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$ $$\frac{\mathrm{d }^2 r}{\mathrm{d } s^2}=\frac{1}{3e^t}\left(-\sin t-\cos t,\cos t-\sin t,0\right)=\kappa(t)N(t)\Rightarrow N(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\sin t-\cos t,\cos t-\sin t,0\right)$$ $$B(t)=T(t)\wedge N(t)=\frac{1}{\sqrt{6}}(\cos t-\sin t,-\sin t-\cos t,2)$$

4.首先我们有：

$$T(t)=\frac{r'(t)}{|r'(t)|}\Rightarrow r'(t)=T(t)|r'(t)|$$

我们对$r’$再次求导就可以得到：

$$r^{''}(t)=\kappa(t)N(t)|r'(t)|^2+T(t)\frac{\mathrm{d } |r'(t)|}{\mathrm{d } t}$$

由此我们有：

$$r'\wedge r^{''}=\kappa(t) B(t) |r'(t)|^3$$

由此可以得到曲率和$B(t)$的表达式：

$$\kappa(t)=\frac{|r'\wedge r^{''}|}{|r'(t)|^3}; B(t)=\frac{r'\wedge r^{''}}{|r'\wedge r^{''}|}$$

还可以得到

$$N(t)=T(t)\wedge B(t)= \frac{\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right|}{\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)\right|} \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)-\frac{\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)}{\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right| \cdot\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)\right|} \boldsymbol{r}^{\prime}(t)$$

我们对$B(t)$对$t$求导，然后根据Frenet公式就可以得到：

$$-\tau(t) N（(t) \cdot \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=\frac{\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime \prime}(t)}{\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)\right|}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{1}{\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)\right|}\right) \cdot\left(\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)\right)$$

两边与$N(t)$作内积就可以得到挠率的表达式：

$$\tau(t)=\frac{\left(\boldsymbol{r}^{\prime}(t), \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t), \boldsymbol{r}^{\prime \prime \prime}(t)\right)}{\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)\right|^{2}}$$

5.我们有($r$以弧长$s$为导数，下均对$s$求导)：

$$r^2=1\Rightarrow r'r=0$$

因此$r$是法向量，故可以有

$$r(s)=\lambda(s)N(s)+\mu(s)B(s)\Rightarrow T(s)=-\lambda \kappa T(s)+(\lambda'-\tau \mu)N(s)+(\mu'+\lambda\tau)B(s)$$

根据标架的正交性，我们有：

$$\begin{cases} \lambda\kappa=-1\\ \lambda'=\tau\mu\\ \mu '=-\lambda\tau \end{cases}$$

从中可以解出$\lambda \mu$,因此我们有：

$$\lambda=\frac{1}{\kappa},\mu =\frac{1}{\tau}\mathrm{d}(\frac{1}{\kappa})$$

将其带入上边的式子中，再利用$r^2=1$,我们就有：

$$1=\frac{1}{\kappa^2}+\left(\frac{1}{\tau}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\frac{1}{\kappa}\right)^2$$

再其求导即得所证.

6.略去计算过程，我们可以得到以下：

$$\begin{cases} r_u=\left(-b\sin u\cos v,-b\sin u\sin v,b\cos u \right)\\ r_v=\left(-\sin v(a+b\cos u),\cos v(a+b\cos u),0 \right)\\ r_{uu}=\left(-b\cos u\cos v,-b\cos u\sin v,-b\sin u\right)\\ r_{uv}=r_{vu}=(b\sin u\sin v,-b\sin u\cos v,0)\\ r_{vv}=(-\cos v(a+b\cos u),-\sin v(a+b\cos u),0)\\ n=(-\cos u\cos v,-\cos u\sin v,\sin u) \end{cases}, \begin{cases} E=b^2\\F=0\\G=(a+b\cos u)^2\\L=b\\M=0\\N=\cos u(a+b\cos u) \end{cases}$$

形算子：

$$S_p=\begin{pmatrix} b&0\\0&\cos u(a+b\cos u) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1/b^2&0\\0&1/(a+b\cos u)^2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1/b&0\\0&\frac{\cos u}{a+b\cos u} \end{pmatrix}$$

Gauss曲率和平均曲率分别为：

$$\frac{\cos u}{b(a+b\cos u)},\frac{1}{2b}+\frac{\cos u}{2(a+b\cos u)}$$

7.直接计算：

$$\begin{cases} r_u=(\sinh u\cos v,\sinh u\sin v,1)\\ r_v=(-\cosh u\sin v,\cosh u\cos v,0)\\ r_{uu}=(\cosh u\cos v,\cosh u\sin v,0)\\ r_{uv}=r_{vu}=(-\sinh u\sin v,\sinh u\cos v,0)\\ r_{vv}=(-\cosh u\sin v,\cosh u\cos v,0)\\ n=(-\cos v/\cosh u,-\sin v/\cosh u,\sinh u/\cosh u) \end{cases}, \begin{cases} E=\cosh^2 u\\F=0\\G=\cosh^2 u\\L=-1\\M=0\\N=1 \end{cases}$$

平均曲率为0，Gauss曲率为$-\frac{1}{\cosh ^4u}$.

8.(b)只需要写出它的直纹面方程即可.

$$r(u,v)=(\cos u,\sin u,0)+v(-\sin u,\sin u,1)$$

9.我们计算从$u_0-u_1$的$u$曲线长度，在这条曲线上$v$保持不变，因此：

$$l=\int_{u_0}^{u_1}\mathrm{d} s=\int_{u_0}^{u_1}\sqrt{E}\mathrm{d}u$$

由题意可知$l$与$v$无关，因此对$v$求导为0，由于$E$的光滑性我们知道应该有：

$$\int_{u_0}^{u_1}\frac{\partial \sqrt{E}}{\partial v}\mathrm{d} u=0$$

因此命题得证.

10.直接计算：

$$\begin{cases} r_u=(1-u^2+v^2,2uv,2u)\\ r_v=(2uv,1-v^2+u^2,-2v)\\ r_{uu}=(-2u,2v,2)\\ r_{vv}=(2u,-2v,-2)\\ r_{uv}=(2v,2u,0)\\ n=\frac{1}{1+u^2+v^2}(-2u,2v,1-u^2-v^2) \end{cases}, \begin{cases} E=(1+u^2+v^2)^2\\F=0\\G=(1+u^2+v^2)\\L=2\\M=0\\N=-2 \end{cases}$$

平均曲率为0，Gauss曲率为$\frac{-4}{(1+u^2+v^2)^4}$.

11.注意到直纹面的参数方程：

$$r(u,v)=a(u)+vb(u)$$

因此$N=0$,所以Gauss曲率小于0.

12.由于第一基本形式为常数，所以第一类Christoffel系数为0(涉及到第一类基本形式的求导)，因此我们有：

$$\begin{cases} r_{uu}=n\\ r_{uv}=0\\ r_{vv}=0\\ n_u=-r_u\\ n_v=0 \end{cases}$$

由第一式和第四式我们有：

$$r_{uuu}=-r_u$$

于是我们有：

$$r_u=a(v)\cos u+b(v)\sin u$$

由于$r_{uv}=0$，因此$a(v)=a,b(v)=b$(向量)
又因为$E=1$,所以$a\perp b$.因此我们可以得到：

$$\begin{cases} r_{u}=a\cos u+b\sin u\\ n=-a\sin u+b\cos u\\ r_v=c \end{cases}$$

进一步我们有：

$$r=a\sin u-b\cos u+g(v)\Rightarrow a\sin u-b\cos u+cv$$

又因为$F=0$,所以$a\perp b\perp c$.
取$a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1)$,我们得到曲面：

$$r(u,v)=(\sin u,-\cos u,v)$$

即圆柱面.

13.设$r(s)$为曲线，$s$是$r$的弧长，$n_p$是在$p$点的法向量，其中$e_1,e_2,e_3$为Darbox标架，考虑投影曲线为：

$$p(s)=r(s)-(r(s),n_p)n_p$$

但是$s$未必是$p(s)$的弧长参数，设$p$的弧长参数为$u$因此，作为切平面的曲线其$T(s)$为：

$$T(s)=\frac{p'(s)}{|p'(s)|}$$

对其再次求导，注意到是对$u$求导，那么我们有：

$$\frac{d T(s)}{d u}=\frac{d T(s)}{d s}\frac{d s}{d u}=\{\frac{ (e_1-(e_1,n_p)n_p)’}{|e_1-(e_1,n_p)n_p|} +(e_1-(e_1,n_p)n_p) d\frac{1}{|e_1-(e_1,n_p)n_p|} \} \frac{d s}{ du}$$

注意到在$s=s_0$处，$\frac{d s}{d u}=1$,因此直接计算出：

$$\frac{d T(s)}{d u}|_ {s=s_0} = \frac{w_{12}}{ds} e_2$$

而：$\dfrac{w_{12}}{ds}$正是测地曲率.

14.我们知道：

$$\frac{\mathrm{d} ^2 r}{\mathrm{d}^2 s}=\kappa_g e_2+\kappa_n e_3=\frac{w_{12}}{\mathrm{d} s}e_2+\frac{w_{13}}{\mathrm{d} s}e_3$$

又因为：

$$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} s}=\frac{w_1}{\mathrm{d}s}e_1$$

再次求导对比即可得到：$w_1\kappa_g=w_{12}$.

15.我们设Frenet标架为$\{T,N,B\}$其中$T=e_1$.因为都是正交标架，因此在同一点，有如下对应关系：

$$\begin{pmatrix} T\\N\\B \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&\cos \theta&\sin \theta\\0&-\sin \theta&\cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_1\\e_2\\e_3 \end{pmatrix}$$

又因为：

$$\frac{\mathrm{d} e_1}{\mathrm{d} s}=\kappa_g e_2+\kappa_n e_3=\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} s}=\kappa N$$

因此我们得到了：

$$\cos \theta=\frac{\kappa_g}{\kappa},\sin \theta =\frac{\kappa_n}{\kappa}$$

排版时候有笔误，勿喷！！！

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