复旦2023直博

复旦2023直博/夏令营

一、设 $f$ 是 $[0,+\infty)$ 上二次连续可微的有界下凸函数.
(1) 证明: 存在 $A \in \mathbb{R}$, 成立

$$\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A .$$

(2) 计算反常积分

$$\int_{0}^{+\infty} x f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x$$

二、设 $f$ 是 $[-1,1]$ 上一次连续可微的函数, 满足

$$f(x)>0, \quad f^{\prime}(x) \neq 0, \quad\left|x+\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}\right| \geq 1, \quad \forall x \in[-1,1] .$$

证明: 在任意开区间 $(a, b) \subset(-1,1)$ 上成立

$$f(x)<f(a)+f(b), \quad \forall x \in(a, b) .$$

三、设函数 $f$ 在 $x_{0}$ 可以展开为收敛的幂级数, 即

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}, \quad \forall x \in\left(x_{0}-r_{0}, x_{0}+r_{0}\right),$$

其中 $r_{0}>0$. 证明: 对任意 $x_{1} \in\left(x_{0}-r_{0}, x_{0}+r_{0}\right), f$ 在 $x_{1}$ 也可以展开为收敛的幂级数

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{1}\right)}{n !}\left(x-x_{1}\right)^{n}, \quad \forall x \in\left(x_{1}-r_{1}, x_{1}+r_{1}\right),$$

其中

$$r_{1} \geq \frac{1}{2}\left(r_{0}-\left|x_{1}-x_{0}\right|\right) .$$

四、令 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 是 $n \times n$ 复方阵, 且 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值. 设 $V_{A}$ 是 $\mathbb{C}^{n \times n 中}$ 中所有形如 $B A-$ $A B$ 的矩阵的全体构成的子空间. 求 $V_{A}$ 作为复线性空间的维数.

五、记 $\mathbb{C}^{n \times n}$ 是 $n \times n$ 复方阵全体构成的空间. 令 $A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right) \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 是 $n \times n$ 复方阵. 定义线性变换 $T: \mathbb{C}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{C}^{n \times n} ; M \mapsto A M B$.

(1) 求 $T$ 的所有特征值(计代数重数)之和, 答案用 $a_{i j}, b_{i j}$ 表示.

(2) 证明: $T$ 幂零当且仅当 $A$ 或 $B$ 至少有一个幂零.

六、令 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是可逆 $n \times n$ 实方阵.

(1) 证明: 存在唯一的实正交阵 $P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 和唯一的实对称正定阵 $H \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 使得 $A=P H$.

(2) 证明: 在(1)中, $P H=H P$ 当且仅当 $A A^{T}=A^{T} A$.