历年中科院夏令营试题 | 小周的数学世界

中科院历年夏令营试题整理

2019

1.(15 分) 集合 $\Omega_{n}=\{1,2, \cdots, n\}$ 的一个分划是指一族非空集合 $\left\{B_{i}\right\}$, 满足 $\cup_{i} B_{i}=\Omega_{n}, B_{j} \cap$ $B_{k}=\emptyset$ (空集), $j \neq k,\left\{\Omega_{n}\right\}$ 也算 $\Omega_{n}$ 的一个分划. 记 $T_{n}$ 为 $\Omega_{n}$ 的分划个数, 例如 $T_{1}=1$ (因 $\Omega_{1}=\{1\}$ ), $T_{2}=2$ (因 $\Omega_{2}=\{1,2\}=\{1\} \cup\{2\}$ ), $T_{3}=5, \cdots$, 求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} T_{n} \frac{x^{n}}{n !}$.

2.(15 分) 设 $0 < a_{k} < \displaystyle \sum_{n=k+1}^{\infty} a_{n}, k=1,2, \cdots, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=1$. 如果数列 $\displaystyle \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots\right\}$ 的子序列和 (即 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的子级数) 构成的集合.

3.(10分) 设 $f$ 为 $[0,2 \pi]$ 上连续可微函数, $f(0)=f(2 \pi)$, 且 $\displaystyle\int_{0}^{2 \pi} f(t) d t=0$. 探讨 $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi}|f(t)|^{2} d t$ 与 $\displaystyle\int_{0}^{2 \pi}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} d t$ 的关系, 并解函数方程

$\int_{0}^{2 \pi}|f(t)|^{2} d t=\int_{0}^{2 \pi}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} d t$

4.(15 分) 设 $0 < a< b < \infty$ 为实数, $K_{a, b}$ 为区间 $[a, b]$ 上满足 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) d t=1$, 且 $a f(a)=$ $b f(b)$ 的非负, 单调降函数全体. 求 $\displaystyle\sup _{f, g \in K_{a, b}} \int_{a}^{b} \max \{f(t), g(t)\} d t$.

5.(10 分) 设 $A$ 为方阵, $\operatorname{tr} A$ 为迹 ( $A$ 的对角元之和). 讨论以下两个条件之间的关系:

(1) 存在正整数 $k$ 使得 $A^{k}=0$.

(2) 对任何正整数 $k$ 都有 $\operatorname{tr} A^{k}=0$.

6.(5 分) 计算 $\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 3\end{array}\right)^{2019}$.

7.(10 分) 设 $A$ 为复数域上 $n$ 阶矩阵, 非零列向量 $x \in \mathbb{C}^{n}$ 满足 $A x=\lambda x, \lambda \in \mathbb{C}$. 设 $y \in \mathbb{C}^{n}$. 讨论矩阵 $A$ 的特征值与矩阵 $A+x y^{T}$ 的特征值之间的关系.

8.(10 分) 设 $V, W$ 都是有限维线性空间, $V^{\ast}$ 为 $V$ 的对偶空间, $L\left(V^{\ast}, W\right)$ 是从 $V^{\ast}$ 到 $W$ 的线性映照全体, $B(V \times W, \mathbb{C})$ 是从 $V \times W$ 到复数域 $\mathbb{C}$ 的双线性映照全体. 讨论 $L\left(V^{\ast}, W\right)$ 与 $B(V \times W, \mathbb{C})$ 之间的关系.

9.(10 分) 设 $n$ 为正整数, $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)= \displaystyle\frac{n !}{k !(n-k) !}$, 分别求以下级数之和:

(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)^{2}$;
$\qquad$ (2) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^{3}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$.

2018

1.(15 分)设 $\Omega_{n}$ 是含有 $n$ 个元素的集合，如果 $\bigcup\limits_{i=1}^{r} A_{i}=\Omega_{n}, A_{i} \subseteq \Omega_{n}$ 非空，称 $\left\{A_{1}, \ldots, A_{r}\right\}$ 为 $\Omega_{n}$ 的一个覆盖, $A_{i} \neq A_{j}, r=1,2, \ldots$ 记 $C_{n}$ 为 $\Omega_{n}$ 的不同覆盖的个数,例如 $C_{1}=1, C_{2}=5$. 求 $C_{3}$.

2.(10 分)通过研究极限 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} n \sin (2 \pi e n !)$ 证明 $e$ 是无理数

3.(15 分)设 $p$ 为从区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 到 $[0,1]$ 的单调增连续可微函数 $p(\theta)$ 全体构成的集合,且 $p(0)=0, p\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$. 定义

$I(p(\theta))=\left(\frac{d}{d \theta} \sqrt{p(\theta)} d \theta\right)^{2}+\left(\frac{d}{d \theta} \sqrt{1-p(\theta)} d \theta\right)^{2}$

(a) 求解极值问题 $\displaystyle\inf\limits_{p(\cdot) \in P} \int_{0}^{\pi / 2} I(p(\theta)) d \theta$.

(b) 若 $I(p(\theta))$ 与 $\theta$ 无关, 求 $p(\theta)$.

4.(15 分)函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 称为超越函数, 如果不存在有限多个不全为零的数 $a_{m n}$ 使得 $\displaystyle\sum\limits_{m, n} a_{m n} x^{m}(f(x))^{n}=0, \forall x \in \mathbb{R}$. 请问以下函数是否是超越函数(说明理由)?

(a)多项式，(b) $\sin x$.

5.(15 分)设 $A, B, C \in M_{n \times n}$ 均为 $n \times n$ 复矩阵, $A^{\ast}$ 表示 $A$ 的共轭转置.

(a) 讨论等式 $A B=A C$ 与 $A^{\ast}A B=A^{\ast}AC$ 的关系.

(b) 讨论等式 $A^{2} B=A$ 与 $B^{2} A=B$ 的关系.

6.(15 分) 设 $A \in M_{n \times n}$ 为任意 $n \times n$ 复矩阵, 满足 $A A^{\ast}=A^{\ast} A$. 是否一定存在多项式 $f$ 使得 $A^{\ast}=f(A)$ ? 说明理由.

7.(15 分) 设 $A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right) \in M_{n \times n}$ 为 $n \times n$ 正定矩阵,定义 $A \circ B=\left(a_{i j} b_{i j}\right)$. 判断以下论断的对错,并给出理由.

(a) $A \circ B$ 为正定矩阵.

(b) $A \circ A^{-1} \geq I$.

2017 直博C卷

1.(20 分)
(1) 求极限

$\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}} .$

(2) 求岢数

$f(x)=\ln \frac{1+a x}{1-b x}+x^{x^{2}} .$

(3) 求积分

$\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1} \frac{y}{\sqrt{1+x^{3}}} d x$

(4) 若$f$是$[a,b]$上的连续单调函数，证明：

$\int_{a}^{b} x f(x) d x \geq \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) d x .$

2.(10分) 设 $A=\left(\begin{array}{ll}4 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3 & 0 \\ 0 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)^{-1}$, 求 $B$ 与 $A+B$ 的特征值.

3.(10 分) 设 $A>0, A C-B^{2}>0$, 求平面曲线 $A x^{2}+2 B x y+C y^{2}=1$ 所围图形面积.

4.(20 分) 设 $A$ 是 $n$ 价正定矩脌, 证明:

$\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} & x_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} & x_{2} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} & x_{n} \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} & 0 \end{array}\right)$

是负定的.

5.(15 分) 记函数 $f(t)=\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos (t x)}{1+x^{2}} d x$.

(1) 证明: $f$ 是连续函数:

(2) 求极限 $\displaystyle\lim _{t \rightarrow+\infty} f(t)$;

(3) 证明: $f$ 在 $[0, \pi]$ 内存在零点.

6.(10 分) 设 $A, B$ 是线件空间 $V$ 到 $W$ 的线性映射, 证明: $A(V) \subset B(V)$ 成立当且仅当存在 $V$ 上的线性变換 $D$, 满足 $A=B D$.

7.(15 分) 设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散, 其中 $a_{n} \leq M$, 证明:

(1) (7 分)

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{S_{n}}=+\infty$

(2) (8 分)

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}=+\infty$

2016

1.(10 分) 确定矩阵分別为
$\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 5\end{array}\right)$
的二次型在下列域上是否等价:

(a) 实数域. (b) 有理数域?

2.(10 分) 设 $W_{1}, W_{2}$ 是 $V$ 的子空间, 如果 $W_{1} \cup W_{2}=V$, 证明: 或者 $V=W_{1}$, 或者 $V=W_{2}$.

3.(15 分) 设 $V$ 是 $n$ 维实问量空间, $\varphi: V \rightarrow V$ 是线性映射. $\chi_{\varphi}(t)=\left(t-\lambda_{1}\right) \cdots\left(t-\lambda_{n}\right),\left(\lambda_{i} \in C\right)$ 是 $\varphi$ 的特征多项式.

试证明: 或者 $\lambda_{i} \in \mathbf{R}(1 \leq i \leq n)$, 或者 $V$ 有一个 2 维不变子空间 $W \subset V$, 使 $\varphi | w$ 的特征多项式不可约.

4.(15 分) 设 $(V,<,>)$ 是 $n$ 维区氏空间, $V^{\ast}$ 表示由所有线性函数 $V \rightarrow \mathrm{R}$ 组成的对偶空间. 试证明:

(1) 映射 $V \rightarrow V^{\ast}, v \mapsto<;, v>$ 是线性同枃.

(2) 对任意线性映射 $f: V \rightarrow V \mathrm{~ . ~ }$验证映射

$f^{\ast}: V^{\ast} \rightarrow V^{\ast} \cdot f^{\ast}(\ell)=\ell \cdot f$

是对偶空间的线性映射.

(3) 对任意线性映射 $\varphi :V\to V$,存在唯一的线性映射$V^{\ast}:V \to V$满足，$ < \varphi(x),y > = \quad < x,\varphi^{\ast}(y) >,\forall x,y\in V$.

5.(10 分) 证明: 当 $x \rightarrow 1^{-}$时,

$\sum_{n=0}^{\infty} x^{n^{2}} \sim \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{1-x}}$

6.(10 分) 证明: 圆的所有外切三角形中，以正三角形的面和为最小.

7.(15 分) 设 $\varphi(x)$ 表示实数 $x$ 与其最近整数间之差的绝对值. 令

$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\varphi\left(4^{k} x\right)}{4^{k}}$

证明:
(1) (5 分). $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上处处连续;

(2) (10 分). $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上处处不可徶.

8.(15 分) 设 $f(x) \in C[0,+\infty)$, 且对任何非页实数 $a$, 有

$\lim _{x \rightarrow \infty}(f(x+a)-f(x))=0 .$

证明: 存在 $g(x) \in C[0,+\infty)$ 和 $h(x) \in C^{1}[0,+\infty)$, 使得: $f(x)=g(x)+h(x)$, 且滴足

$\lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=0, \lim _{x \rightarrow \infty} h^{\prime}(x)=0 .$

2015

对那些实数$a$,级数$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}
(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n})^a$是收敛的.
设 $y$ 是 $[0,1]$ 上 $C^{2}$ 光滑实函数, 满足方程
$y^{\prime \prime}(x)+y^{\prime}(x)-y(x)=0, x \in(0,1),$
且 $y(0)=y(1)=0$. 试证 $y(x) \equiv 0, x \in[0,1]$.
设 $f$ 是 $\mathbf{R}^{2}$ 上的有界连续实函数, 定义
$g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x, t)}{1+t^{2}} d t, x \in \mathbf{R},$
试证 $g(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的连续函数.
设 $f$ 是 $[1,+\infty)$ 上连续可微类函数. 满足 $f(1)=1$, 且
$f^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{2}(x)+x^{2}}, x \in(1,+\infty),$
试证 $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且不超过 $1+\frac{1}{4} \pi$.
设 $f$ 是 $[0,1]$ 上连续实函数, 计算下列极限并证明你的结论:

(1). $\displaystyle\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) d x$;

(2). $\displaystyle\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} n \int_{0}^{1} x^{n \prime} f(x) d x$.

对整数 $a, b$, 定义 $a=b(\bmod m)$ 当且仅当 $m \mid(a-b)$ (即 $m$ 整除 $a-b)$. 正整数 $m$ 取
$\begin{aligned} x+2 y-z & \equiv 1(\bmod m) \\ 2 x-3 y+z & \equiv 4(\bmod m) \\ 4 x+y-z & \equiv 9(\bmod m) \end{aligned}$
设 $\theta$ 是实数, $n$ 是自然数, 求 $\left(\begin{array}{cc}e^{-i \theta} & 2 i \sin \theta \\ 0 & e^{i \theta}\end{array}\right)^{n}$.
设 $A, B \in M_{n \times n}(\mathrm{C})(n$ 复矩阵). 回等以下问题并说明理由:

(1) $A B$ 与 $B A$ 是相似?

(2) $A B$ 与 $B A$ 是否有相同的特征多项式?

(3) $A B$ 与 $B A$ 是否有相同的极小多项式?

证明实数域上的有限维线性空间不可能是有限个真子空间的并，再讨论有限域的情形.
设$T：V\to V$是复数域$\mathbb{C}$上的有限维线性空间$V$上的幂零算子，$I$是单位算子，求线性算子 $ S, Q$ 使得 $ S^{2}=I+T, Q(I+T)=I $

2015山东

$\forall r=\left(a_{1}, \cdots, a_{n}, \cdots\right) \in S$ 为 Canchy 列. 定义两个 $r, r^{\prime}$ 等价为 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-a_{n}^{\prime}\right)=0, r^{\prime}=$ $\left(a_{1}^{\prime}, \cdots, a_{n}^{\prime}, \cdots\right)$, 证明: 存在一个映射 $\varphi: S \times S \rightarrow S$ 使得
$\varphi\left([r],\left[r^{\prime}\right]\right)=\left[\left(a_{1} a_{1}^{\prime}, \cdots, a_{n} a_{n}^{\prime}\right)\right] .$
(1).$n$ 为正整数, $\mathrm{R}$ 为实数域. 敘述 $\displaystyle \mathrm{R}^{n}$ 中开集定义:

(2) $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的复值函数, 叙述Riemann 积分 $ \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) d x$ 定义.

$X=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$ 求 $Y, Z$ 使得

(1) $Y+Z=X$

(2) $Y$ 为幂零矩阵;

(3) Z 可对角化

(4) $Y Z=Z Y$.

$V$ 为一个 100 维空间.
$S=\left\{\begin{array}{l|l} \left(V_{1}, V_{2}, V_{3}\right) & \begin{array}{l} V_{1} \text { 的2维子空间; } \\ V_{2}, V_{3} \text { 为 V的1维子空间. } \end{array} \end{array}\right\}$
定义等价类 $\left(V_{1}, V_{2}, V_{3}\right) \cong\left(V_{1}^{\prime}, V_{2}^{\prime}, V_{3}^{\prime}\right)$ 为:$\exists$ 同构 $\varphi: V \rightarrow V^{\prime}$ ，使得 $\varphi\left(V_{i}\right)=V_{i}^{\prime}(i=1,2,3)$.
求出 $V$ 中等价类的个数.
$f(t)$ 为无穷次可微函数, $f(t+1)=f(t)$. 定义
$\varphi(n)=\int_{0}^{1} f(t) e^{2 \pi n t i} \mathrm{dt},$
对于任意多项式 $g(x)=a_{k} x^{k}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$. 证明: $g(n) \varphi(n)$ 有界.
存在有维维线性空间 $W$ 上定义 $(u, v)$ 满足

(1) $(u, v)=-(v, u)$;

(2) $\left(a_{1}+u, v\right)=\left(a_{1}, v\right)+(u, v)$

$\left(u, v+a_{2}\right)=(u, v)+\left(u, a_{2}\right) \text {; }$

(3) 对于 $\forall u \in W$, 使得 $\exists v \in W$, 使得 $(u, v) \neq 0$.

证明: $W$ 为偶数阶的

2015 南开

求级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1)(2 n+1)}$;
已知 $S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, h \neq R$, 求 $\displaystyle\iint_{S} \frac{d S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-h)^{2}}}$;
已知 $f(x)$ 非线性, 求证
$\sup _{x \in R}\left|f^{\prime}(x)\right|^{2} \leq 4 \sup _{x \in R}|f(x)| \sup _{x \in R}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| .$
(1) 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵. 证明: $A$ 是幂零的等价于 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda)=\lambda^{n}$;

(2) 求行列式 $\begin{pmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_{1} & \lambda_{2} & \cdots & \lambda_{r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda_{1}^{r-2} & \lambda_{2}^{r-2} & \cdots & \lambda_{r}^{r-2} \\ \lambda_{1}^{r} & \lambda_{2}^{r} & \cdots & \lambda_{r}^{r}\end{pmatrix}$ 的

(3) 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵, 证明: $A$ 是幂零的等价于 $\operatorname{tr}\left(A^{p}\right)=0,0 \leq p \leq n$;

(4) 定义 $[A, B]=A B-B A$. 证明: 若 $[[A, B], A]=0$, 则 $[A, B]$ 幂零的:

(5) 证明: $[[A, B], C]+[[B, C], A]+[[C, A], B]=0$.