清华大学夏令营试题

2021清华九推试题

2021清华九推试题

1. 与线性变换有关, 疑似错题.

2. 设 $A, B$ 为数域$\mathbb{F}$上 $n$ 阶方阵.求证:

(1) 对 $\forall \lambda \in \mathbb{F}$,均成立 $\lambda I_{n}-A B$ 可逆 $\Leftrightarrow \lambda I_{n}-B A$ 可逆.

(2)若 $\operatorname{rank}(A B)=\operatorname{rank}(B)$, 则 $\operatorname{rank}\left(A B^{2}\right)=\operatorname{rank}\left(B^{2}\right)$.

1. 设 $V$ 为 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 为 $V$ 上的线性变换,其全体不同特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{r}$. 求证: $\varphi$ 可 对角化 $\Leftrightarrow$ 存在 $1 \leqslant i \leqslant r$, 使得

   $$\operatorname{Im}\left(\varphi-\lambda_{i} \mathcal{E}\right)=\oplus_{j \neq i} \operatorname{ker}\left(\varphi-\lambda_{j} \mathcal{E}\right) .$$

2. 设 $f \in C[0,1]$. 对任意 $[0,1]$ 上的可微函数 $g$ 均成立 $\int_{0}^{1} f(x) g(x) d x=0$. 求证: $f \equiv 0$.

3. 求证Green第二公式.

4. 与连续函数介值定理有关.

5. 设区域 $D \subset \mathbb{C},\left\{f_{n}\right\} \subset H(\bar{D})$, 存在 $\bar{D}$ 上的复变函数 $f$,使得 $\left\{f_{n}\right\}$ 在 $D$ 上收敛于 $f,\left\{f_{n}\right\}$ 在 $\partial D$ 上一 致收敛于 $f$.求证:

(1) $\left\{f_{n}\right\}$ 在 $D$ 中一致收敛于 $f \in H(D)$.

(2) 若 $\left\{f_{n}\right\}$ 是 $D$ 中的单叶函数列, $f$ 不是常值函数,则 $f$ 也是 $D$ 中的单叶函数.

2021清华内推

1. (10\%) 已知复方阵 $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 的特征多项式为 $(\lambda-1)^{n}$. 证明 $A$ 与 $A^{2}$ 相似.

2. (10\%) 已知实对称方阵

   $$A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$

   向量 $x \in\left\{x \in R^{3} \mid x^{T} x=1\right\}$. 当 $x$ 取何值时, $x^{T} A x$ 取到最大值,最小值?

3. (10\%) 已知域 $\mathbb{F}$ 上的有限维线性空间 $X, Y, U, V$, 以及线性映射 $\alpha: X \rightarrow Y, \beta: V \rightarrow U, \psi: X \rightarrow U$,并且满足
   $\operatorname{ker} \alpha \subseteq \operatorname{ker} \psi, \operatorname{Im} \psi \subseteq \operatorname{Im} \beta$
   那么是否存在线性映射 $\phi: Y \rightarrow V$ 使得

   $$\psi=\beta \circ \phi \circ \alpha ?$$

   若是请证明,否则举出一个反例.

4. (10\%) 已知域 $\mathbb{F}$ 上的方阵 $A, B \in M_{n}(\mathbb{F})$,满足: $A$ 是可逆矩阵, $B$ 是幂零矩阵(即存在正整数 $m$ 使得 $B^{m}=0$ ). 证明:对任意 $C \in M_{n}(\mathbb{F})$, 存在 $X \in M_{n}(\mathbb{F})$, 使得

   $$A X-X B=C \text {. }$$

5. (10\%)设 $E$ 为 $\mathbb{R}$ 的非空子集,并且 $E$ 上的任何连续函数都有界. 证明: $E$ 为有界闭集.

6. (10\%)已知 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的处处非负的黎曼可积函数, 并且

   $$\int_{0}^{1} f(x) d x=0 .$$

   证明: $f(x)$ 几乎处处为 0 .

7. (20\%)计算 $\mathbb{R}^{3}$ 中的区域

   $$\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y^{2}+z^{2} \leqslant 1, z^{2}+x^{2} \leqslant 1\right\}$$

   的体积.

8. (20\%) 已知 $f(z)$ 在单位圆盘 $|z|<1$ 解析,并且 $|f(z)| \leqslant \frac{1}{1-|z|}, \forall|z|<1$. 证明:对任意整数 $n \geqslant 0$,

   $$\left|f^{(n)}(0)\right| \leqslant(n+1) ! e .$$